В математике истина и ложь являются двумя основными значениями логических высказываний, а также основами математической логики. Истинность высказывания определяется его соответствием фактам, а любое высказывание может быть только истинным или ложным. В алгебре логики этим значениям присваиваются числовые эквиваленты: истина (1) и ложь (0).

Истина и ложь в контексте математической логики

Высказывание: Математическая логика работает с предложениями (высказываниями), которые могут быть либо истинными, либо ложными. Например, "2 + 2 = 4" — истинное высказывание, а "2 + 2 = 5" — ложное.

Алгебра логики: В рамках этой области высказывания обозначаются латинскими буквами (например, А, В), а логические операции (И, ИЛИ, НЕ) используются для соединения простых высказываний в сложные.

Таблицы истинности: Эти таблицы используются для определения истинности сложных высказываний путем перечисления всех возможных комбинаций истинности/ложности входящих в него простых высказываний. Например, для высказывания "А и В" (конъюнкция), таблица покажет, что оно будет истинным только в том случае, если оба высказывания, А и В, истинны. Во всех остальных случаях (А-ложь, В-истина; А-истина, В-ложь; А-ложь, В-ложь) оно будет ложным.

Примеры операций:

Отрицание (НЕ): Если высказывание "Москва — столица Австрии" ложно, то его отрицание "неверно, что Москва — столица Австрии" является истинным.

Импликация (ЕСЛИ... ТО): Высказывание "Если 2 * 2 = 4, то вода — это газ" ложно, так как первая часть истинна, а вторая — ложна.

Истина как цель

Объективность: В математике истина объективна и не зависит от мнения людей.

Доказательство: Доказательство в математике служит способом установления истинности какого-либо утверждения, причем доказанные утверждения становятся аксиомами или теоремами.

Логика при этом играет ключевую роль в процессе доказательства.